ישנה טענה פופולרית שנשמעת לא פעם לעומת אנשי מתמטיקה מכיוון פילוסופי. אסתייג ואומר שאנשי המתימטיקה אינם המושא העיקרי של טענה זו, כי אם פילוסופים המשתמשים במתודות מתימטיות, או כאלה שאמצו דרכי חשיבה מתחום הלוגיקה והמתימטיקה, אשר רובינו מכירים מתחום הגיאומטריה וכו'.
כידוע, מודל ההוכחה הגיאומטרי מתבסס על הישענות על אקסיומות שאינן מוכחות (כגון משפט החפיפה "צלע זווית צלע"). פיתוח הגיאומטריה מתחיל בהנחה כי האקסיומות הללו הן אמת. מכאן ע"י צירוף שלהן, ניתוח, העמדתן בתנאים שונים וכד' מתקבלים משפטים גיאומטריים שנתפסים כאמת במידה שהם אכן נשענים על האקסיומות המקובלות. אופן הניתוח הזה נקרא דדוקציה, כלומר - למידה מהכלל אל הפרט. במקרה זה האקסיומות הן הכללים, הן נלקחות למקרים פרטיים ומוסקות מסקנות, כפי שתיארנו.
כל זה טוב ויפה לכאורה, אבל ישנה בעיה אחת קטנה בכל הסיפור הזה ועליה תיטען הטענה המדוברת. הטענה תטען כך: המתודה הגיאומטרית הזו יוצרת אשלייה בתפיסת העולם שלנו. אנחנו חשים בצורה מאוד חזקה, כי כאשר אנחנו מוכיחים משפט ע"פ משפטי האקסיומה אנחנו מגלים אמיתות חדשות על היקום. אך האמת היא, שאנחנו רק חושפים את מה שהיה בהנחה המקורית שלנו מלכתחילה. כאשר אנחנו מניחים את קיומן של האקסיומות, אנחנו, באותו זמן ובלא שאנחנו מודעים לכך, מניחים גם את קיומן של כל הנגזרות מאותן אקסיומות. הבעיה היא, שמאחר והאקסיומה עצמה אינה מוכחת (ופעמים רבות גם אינה נכונה, כמו ההנחה שלנקודה אין אורך ואין רוחב) אין שום תוקף לכל היצירה השלימה שהוסקה מתוך אותה אקסיומה, או כמה אקסיומות.
ברוך (בנדיקטוס) שפינוזה (או בנדיקטוס ברוך, תלוי איך מסתכלים על זה) היה פילוסוף יהודי חשוב במאה ה-17 בהולנד. הוא טען דברים מעוררי מחשבה ומרתקים, אך ברשומה זו רק רציתי להפנות את תשומת הלב לאופן שבו כתב את ספרו המרכזי (שיצא לאור לאחר מותו, בגיל 44) "אתיקה". "אתיקה" כתוב בצורה גיאומטרית. משפט, הוכחה, מש"ל, ממש כמו בתיכון. כך הוא כותב בחיבור אחר (מאמר מדיני) "כשנתתי דעתי על ענייני פוליטיקה, וכדי שאוכל לחקור בהם באותה מידה של חירות הרוח כמו שרגילים אנו לחקור בנושאים מתימטיים, נזהרתי שלא ללעוג למעשי בני אדם ולא להתעצב עליהם ולא לבוז להם, אלא להבינם".
מבקריו של שפינוזה טענו נגדו טענות שונות, כאשר אחת מהן היא הטענה שציינתי לעיל. אינך יכול לחדש שום דבר בנושא האדם כאשר התייחסותך אליו היא גיאומטרית, משום שכוחה של מתודה זו היא בחילוץ מתוך הנחות יסוד את המסקנות הנובעות מהן, ולא הוכחה על אמיתת קיומן.
אין לי ויכוח עם אמיתות טענה זו. אך אני חושב שהסתכלות כזו מסרסת את היכולת לטעון טענות רציניות מסיבה פשוטה: המבחן לאמיתות הטענה המקורית, או האקסיומה, הוא התולדות שלה. כאשר אנחנו טוענים טענה, איננו בד"כ מודעים לכל השלכותיה ותולדותיה. הטענה נשמעת לנו נכונה, אבל היא עדיין לא אומתה. אין הכוונה לאימות מוחלט, לבדיקה של ההסכמה שלנו עם הטענה שטענו, האם אנחנו מוכנים לקבל את הטענה כעסקת חבילה, ביחד עם כל מה שנובע ממנה, או שנסתייג מחלקים מסויימים שבה. אני חושב שהבירור הזה, הדדוקטיבי, הוא בירור הכרחי, בסיסי, וכזה שמאפשר לנו לתקן את ניסוחינו, את מחשבותינו, את דעותינו.
כאשר מוותרים על הצורך להגיד את האמת המוחלטת אבל מתעקשים לטעון טענה שנהיה מזוהים איתה לגמרי, שתגרום לנו לברר את ערכינו, הטענה כנגד המתודה הדדוקטיבית הופכת מגוחכת. המתימטיקה מפתיעה גם את המתמטיקאים, לא בגלל אקסיומות חדשות בהכרח, כי אם בעקבות גילויים בתוך אקסיומה קיימת. יש חידוש גם בחשיפת הטמון בתוך הדברים שאמרנו.
פרסם רשומה
אני מקווה שנרשה לעצמנו להביע את דעותינו, שלא נעצור את הבירור המפורט שלהן ונזכה לגבש דעות מתוך הקשבה ללב.
כידוע, מודל ההוכחה הגיאומטרי מתבסס על הישענות על אקסיומות שאינן מוכחות (כגון משפט החפיפה "צלע זווית צלע"). פיתוח הגיאומטריה מתחיל בהנחה כי האקסיומות הללו הן אמת. מכאן ע"י צירוף שלהן, ניתוח, העמדתן בתנאים שונים וכד' מתקבלים משפטים גיאומטריים שנתפסים כאמת במידה שהם אכן נשענים על האקסיומות המקובלות. אופן הניתוח הזה נקרא דדוקציה, כלומר - למידה מהכלל אל הפרט. במקרה זה האקסיומות הן הכללים, הן נלקחות למקרים פרטיים ומוסקות מסקנות, כפי שתיארנו.
כל זה טוב ויפה לכאורה, אבל ישנה בעיה אחת קטנה בכל הסיפור הזה ועליה תיטען הטענה המדוברת. הטענה תטען כך: המתודה הגיאומטרית הזו יוצרת אשלייה בתפיסת העולם שלנו. אנחנו חשים בצורה מאוד חזקה, כי כאשר אנחנו מוכיחים משפט ע"פ משפטי האקסיומה אנחנו מגלים אמיתות חדשות על היקום. אך האמת היא, שאנחנו רק חושפים את מה שהיה בהנחה המקורית שלנו מלכתחילה. כאשר אנחנו מניחים את קיומן של האקסיומות, אנחנו, באותו זמן ובלא שאנחנו מודעים לכך, מניחים גם את קיומן של כל הנגזרות מאותן אקסיומות. הבעיה היא, שמאחר והאקסיומה עצמה אינה מוכחת (ופעמים רבות גם אינה נכונה, כמו ההנחה שלנקודה אין אורך ואין רוחב) אין שום תוקף לכל היצירה השלימה שהוסקה מתוך אותה אקסיומה, או כמה אקסיומות.
ברוך (בנדיקטוס) שפינוזה (או בנדיקטוס ברוך, תלוי איך מסתכלים על זה) היה פילוסוף יהודי חשוב במאה ה-17 בהולנד. הוא טען דברים מעוררי מחשבה ומרתקים, אך ברשומה זו רק רציתי להפנות את תשומת הלב לאופן שבו כתב את ספרו המרכזי (שיצא לאור לאחר מותו, בגיל 44) "אתיקה". "אתיקה" כתוב בצורה גיאומטרית. משפט, הוכחה, מש"ל, ממש כמו בתיכון. כך הוא כותב בחיבור אחר (מאמר מדיני) "כשנתתי דעתי על ענייני פוליטיקה, וכדי שאוכל לחקור בהם באותה מידה של חירות הרוח כמו שרגילים אנו לחקור בנושאים מתימטיים, נזהרתי שלא ללעוג למעשי בני אדם ולא להתעצב עליהם ולא לבוז להם, אלא להבינם".
מבקריו של שפינוזה טענו נגדו טענות שונות, כאשר אחת מהן היא הטענה שציינתי לעיל. אינך יכול לחדש שום דבר בנושא האדם כאשר התייחסותך אליו היא גיאומטרית, משום שכוחה של מתודה זו היא בחילוץ מתוך הנחות יסוד את המסקנות הנובעות מהן, ולא הוכחה על אמיתת קיומן.
אין לי ויכוח עם אמיתות טענה זו. אך אני חושב שהסתכלות כזו מסרסת את היכולת לטעון טענות רציניות מסיבה פשוטה: המבחן לאמיתות הטענה המקורית, או האקסיומה, הוא התולדות שלה. כאשר אנחנו טוענים טענה, איננו בד"כ מודעים לכל השלכותיה ותולדותיה. הטענה נשמעת לנו נכונה, אבל היא עדיין לא אומתה. אין הכוונה לאימות מוחלט, לבדיקה של ההסכמה שלנו עם הטענה שטענו, האם אנחנו מוכנים לקבל את הטענה כעסקת חבילה, ביחד עם כל מה שנובע ממנה, או שנסתייג מחלקים מסויימים שבה. אני חושב שהבירור הזה, הדדוקטיבי, הוא בירור הכרחי, בסיסי, וכזה שמאפשר לנו לתקן את ניסוחינו, את מחשבותינו, את דעותינו.
כאשר מוותרים על הצורך להגיד את האמת המוחלטת אבל מתעקשים לטעון טענה שנהיה מזוהים איתה לגמרי, שתגרום לנו לברר את ערכינו, הטענה כנגד המתודה הדדוקטיבית הופכת מגוחכת. המתימטיקה מפתיעה גם את המתמטיקאים, לא בגלל אקסיומות חדשות בהכרח, כי אם בעקבות גילויים בתוך אקסיומה קיימת. יש חידוש גם בחשיפת הטמון בתוך הדברים שאמרנו.
פרסם רשומה
אני מקווה שנרשה לעצמנו להביע את דעותינו, שלא נעצור את הבירור המפורט שלהן ונזכה לגבש דעות מתוך הקשבה ללב.
אני מניח שקראת את as a driven leaf שבונה כולו לקראת התמודדות עם הנקודה הזו (ומתאר ברקע באופן סמלי את ההתמודדות של גדולי התנועה הרקונסטרוקציוניסטית איתה)
השבמחק(כמובן, מעבר להיותו ספר נפלא בפני עצמו)
האמת שלא שמעתי על הספר, ואשמח אם תוכל לספר עליו קצת יותר. בכל מקרה, כתבתי את זה מתוך הבנה שכך אופן ההכרה שלי עובד בד"כ והרגשתי צורך להצדיק אותו אל מול הקביעה הזו.
השבמחק